3034-1558 Cifra. Информационные технологии и телекоммуникации ООО Цифра 10.60797/itech.2026.10.5 Brief communication Задача коммивояжёра с поворотными штрафами: постановка по тройкам вершин и алгоритмические схемы решения Голод Герман Матвеевич germangolod@gmail.com 1 https://ror.org/04w8z7f34 Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ 14 04 2026 2026 4 10 1 4 22 12 2025 24 03 2026 Copyright: © 2022 The Author(s) 2022 This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited. See http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ .

В статье рассматривается классическая задача коммивояжёра (TSP) и её вариация для маршрутизации на графах с поворотными штрафами, когда стоимость маршрута зависит не только от выбранных рёбер, но и от последовательности двух смежных переходов (троек вершин). Данная постановка формализуется через функцию стоимости второго порядка и соотносится с квадратичной задачей коммивояжёра (QTSP) и угловой постановкой (angular TSP). Представлен теоретический обзор результатов по сложности, аппроксимациям и наиболее эффективным алгоритмическим подходам к TSP. Предложены две взаимодополняющие схемы решения turn-cost модели: точная MILP-формулировка с линеаризацией тройных переходов и стандартными ограничениями на подтуры для малых и средних размеров, а также масштабируемая эвристическая схема для больших графов, основанная на разрежении кандидатных рёбер, локальном поиске типа k-opt и инкрементальном пересчёте поворотной компоненты целевой функции. Обсуждаются вычислительные ограничения моделей, оценка роста числа учитываемых троек при разрежении и область применимости подходов для задач практической маршрутизации.

 задача коммивояжёра маршрутизация штраф поворота стоимость по тройкам угловой TSP QTSP целочисленное программирование MILP локальный поиск 2-opt k-opt разрежение кандидатов HTML-content

1. Введение

Задача коммивояжёра (TSP) является базовой моделью комбинаторной оптимизации и используется как эталон при развитии точных и эвристических методов решения NP-трудных задач. Современные обзоры подчёркивают, что даже при наличии сильных теоретических результатов (классические динамические схемы, аппроксимационные гарантии для метрических случаев, развитые MILP/branch-and-cut подходы) практическое масштабирование на сотни тысяч и миллионы узлов требует локального поиска, разрежения соседств и вычислительной инженерии.

В транспортных и навигационных приложениях стоимость движения часто зависит не только от ребра (

Цель: формализовать TSP с поворотными штрафами и предложить вычислительно реализуемый метод решения, согласованный с масштабированием.

Основной вклад:

1. Модель Turn-TSP со стоимостью по тройкам и нормализацией поворотного штрафа (для интерпретируемости

2. MILP-постановка с линеаризацией троек (для малых

3. Turn-aware эвристика: жадная инициализация второго порядка + локальный поиск

4. Минимальная экспериментальная валидация на Rand2D и Grid инстансах, демонстрирующая эффект при

2. Методы и принципы исследования

Пусть задано множество вершин

p : V × V × V → ℝ ≥ 0 , p ( i , j , k )  - штраф при фрагменте  i → j → k .

Ищется гамильтонов цикл

F ( τ ) = D ( τ ) + λ P ( τ ) = ∑ t = 1 n d ( v t , v t + 1 ) + λ ∑ t = 1 n p ~ ( v t − 1 , v t , v t + 1 )

где индексы по модулю

p ~

Замечание 1 (Зачем нужна нормализация). Без нормализации масштаб

p ~ ( i , j , k ) = θ ( i , j , k ) π ∈ [ 0 , 1 ]

где

Пусть вершинам соответствуют координаты

x v ∈ ℝ 2 θ ( i , j , k ) = arccos ( x i − x j ) · ( x k − x j ) ‖ x i − x j ‖ · ‖ x k − x j ‖ ∈ [ 0 , π ] ,

и положим

p ~ ( i , j , k ) = θ ( i , j , k ) / π

Введём бинарные переменные

x i j ∈ { 0 , 1 }  (дуга  i → j  в туре),  z i j k ∈ { 0 , 1 }  (в туре встречается  i → j → k  ). 

Цель:

min ∑ i ≠ j d i j x i j + λ ∑ i , j , k p ~ i j k z i j k .

Ограничения «один вход/один выход»:

∑ j ≠ i x i j = 1 , ∀ i ∈ V , ∑ j ≠ i x j i = 1 , ∀ i ∈ V .

Линеаризация троек:

z i j k ≤ x i j , z i j k ≤ x j k , z i j k ≥ x i j + x j k − 1

для всех допустимых

Замечание 2. MILP с тройками имеет

Метод ориентирован на масштабирование и опирается на ключевые принципы современных TSP-эвристик: локальный поиск, разрежение соседств и вычислительная эффективность.

Для каждой вершины

Начальный тур строится жадно по критерию второго порядка. При текущем конце тура (vt-1Missing Mark : sub, vtMissing Mark : sub) следующая вершина kMissing Mark : sub выбирается как

k = argmin u ∉ τ [ d ( v t , u ) + λ p ~ ( v t − 1 , v t , u ) ] .

Тем самым поворотный штраф учитывается уже на этапе построения.

В классическом 2-opt выбираются две дуги

Ключевое наблюдение: 2-opt влияет на ограниченное число локальных троек возле вершин

Утверждение 1 (Монотонность). Если

V d i j p ~ i j k λ ≥ 0 d + λ p ~  improved ⟵ false 

- Без разрежения: полный перебор 2-opt даёт

- С локальным ΔF: оценка одного кандидата делается за O(1) (константное число рёбер и локальных троек), поэтому полный 2-opt проход

- С кандидатами размера K: перебор сокращается до порядка

3. Основные результаты

Использованы два класса инстансов:

1. Rand2D_

2. Grid_25x25: решётка 25×25 (625 вершин), как простой прокси «дорожной» структуры.

Базовая стоимость

p ~

- Baseline: Nearest Neighbor + 2-opt, оптимизирующие только

- TurnAware: жадная инициализация по

В качестве контрольной проверки при

Таблица 1 иллюстрирует характерный эффект: TurnAware уменьшает поворотную компоненту

Сравнение Baseline и TurnAware при λ=1,0

Инстанс n FbaseMissing Mark : sub FturnMissing Mark : sub ΔF, % PbaseMissing Mark : sub PturnMissing Mark : sub ΔP, %
Grid_25x25 625 2469,1 1286,3 47,9 1823,2 396,8 78,2
Rand2D_100 100 227,6 56,9 75,0 219,5 19,2 91,3
Rand2D_300 300 626,2 119,5 80,9 611,3 45,7 92,5
Rand2D_800 800 1667,9 234,8 85,9 1643,0 90,1 94,5

График зависимости эффекта от λ

График зависимости эффекта от λ

TurnAware vs Baseline: улучшение по

Baseline заметно быстрее, так как оптимизирует только

4. Обсуждение

Эксперименты показывают:

- При

- При

- Увеличение

- Для редакционной версии желательно добавить 3–5 повторов на каждом инстансе (разные seed) и вывести среднее и стандартное отклонение по

- Для малых

5. Заключение

В статье предложена корректная постановка маршрутизации с поворотными штрафами как задачи второго порядка с целью

Additional File

The additional file for this article can be found as follows:

Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI: https://doi.org/10.60797/itech.2026.10.5

Acknowledgements

Автор выражает искреннюю благодарность Т-Банку за инициативы, направленные на поддержку научных исследований и развитие академической среды. Реализуемые банком программы стали значимым источником мотивации и вдохновения при подготовке настоящей работы и способствовали углублённой проработке исследуемой темы.

 Competing Interests

Saller S. A survey on approximability and exact algorithms for the traveling salesman problem variants / S. Saller, J. Koehler, A. Karrenbauer // Annals of Operations Research. — 2025. — № 351. — P. 2129–2190. — DOI: 10.1007/s10479-025-06641-5. Alanzi A. Solving the traveling salesman problem with machine learning: a review of recent advances and challenges / A. Alanzi, M.E. Menai // Artificial Intelligence Review. — 2025. — № 58. — P. 267. — DOI: 10.1007/s10462-025-11267-x. Sui J. A survey on deep learning-based algorithms for the traveling salesman problem / J. Sui, S. Ding, X. Huang [et al.] // Front. Comput. Sci. — 2025. — Vol. 19. — Art. 196322. — DOI: 10.1007/s11704-024-40490-y Mariescu-Istodor R. Solving the Large-Scale TSP Problem in 1 h: Santa Claus Challenge 2020 / R. Mariescu-Istodor, P. Fränti // Frontiers in Robotics and AI. — 2021. — Vol. 8. — Art. 689908. — DOI: 10.3389/frobt.2021.689908. Taillard É.D. A linearithmic heuristic for the travelling salesman problem / É.D. Taillard // European Journal of Operational Research. — 2022. — № 297 (2). — P. 442–450. — DOI: 10.1016/j.ejor.2021.05.034. Formella A. A quasi-linear-time heuristic to solve the Traveling Salesman Problem / A. Formella // Journal of Computational Science. — 2024. — № 77. — Art. 102237. — DOI: 10.1016/j.jocs.2024.102237. Skinderowicz R. Improving Ant Colony Optimization efficiency for solving large TSP instances / R. Skinderowicz // Applied Soft Computing. — 2022. — № 120. — Art. 108653. — DOI: 10.1016/j.asoc.2022.108653. Jiongzhi Zh. A reinforced hybrid genetic algorithm for the traveling salesman problem / Zh. Jiongzhi, Zh. Jialun, Ch. Menglei [et al.] // Computers & Operations Research. — 2023. — № 157. — Art. 106249. — DOI: 10.1016/j.cor.2023.106249. Pham Q.A. An Efficient Hybrid Genetic Algorithm for the Quadratic Traveling Salesman Problem / Q.A. Pham, H.C. Lau, M.H. Ha [et al.] // Proceedings of ICAPS 2023. — 2023. — DOI: 10.1609/icaps.v33i1.27212. Cavagnini R. A tabu search with geometry-based sparsification methods for angular traveling salesman problems / R. Cavagnini, M. Schneider, A. Theiß // Networks. — 2023. — DOI: 10.1002/net.22180.