Расчет параметров профиля концентрации при ионном легировании путем нахождения минимума целевой функции методом Давидона-Флетчера-Пауэлла

Ионная имплантация в последние годы стала одним основных методов легирования материалов при производстве структур БИС и СБИС

Процесс ионной имплантации часто проводится через диэлектрические слои. Для этого существуют различные причины:

- избежание загрязнения полупроводника;

- регулирование распределения глубины;

- исключение образования каналов;

- технологические причины.

Для того чтобы точно рассчитать распределение примеси по глубине в многослойной структуре, требуется решение транспортных уравнений.

Целью данной работы является нахождение начальной дозы легирования и начальной энергии иона для заданного профиля при проведении ионной имплантации. Расчеты предполагается проводить на основе диффузионной теории Бирсака при использовании оптимизации методом Давидона-Флетчера-Пауэла.

Для предотвращения загрязнения кремния, создания рассеивающего слоя или регулирования глубины залегания ионов, легирование примеси проводится через тонкие маскирующие слои, такие как SiO2 Si3N4. Чтобы точно вычислить распределение примеси по глубине, можно воспользоваться методом Монте-Карло. Но это требует больших затрат машинного времени.

Для практических потребностей кремниевой технологии можно использовать простую модель, предложенную в

Рисунок 1 - Схематическое изображение численной модели для имплантации в многослойные структуры

Примечание: C1(x) – профиль концентрации в материале 1 (SiO2) [маска];

C2(x) – профиль концентрации в материале 2 (Si) [подложка];

N0 – количество ионов примеси на глубине

DOI:10.60797/itech.2024.4.3.1

В предположении легирования через толстый слой окисла (d > Rpi, d – толщина окисла) и гауссовского распределения профилей в окисном слое N1(x) и подложке N2(x) распределение примеси определяется выражениями:

(1)

где  – параметры распределения примеси в первом и втором слоях, соответственно.

Ошибка при использовании (1) равна

где

Выражение (1) получается из распределения концентрации примеси в толстом слое окисла преобразованием плотности с помощью масштабирующего  Однако для случая тонкого слоя  пробег в подложке .

Поскольку форма профиля концентрации примеси в кремнии обычно важнее, чем в слое окисла, то для тонких слоев и произвольного профиля распределения можно использовать следующие соотношения:

(2)

Данная модель дает хорошие результаты, если ионы концентрируется во втором слое.

Для уточнения профиля распределения в обоих предельных случаях (случаи толстого и тонкого слоев) может быть проведено дальнейшее усовершенствование модели.

С этой целью рассчитывать профиль распределения в материале 1 (формула (1а) и (2а) для толстого и тонкого слоев, соответственно) и полное количество атомов , внедренных в область 1 толщиной :

(3)

Затем определяется профиль распределения в мишени из материала 2, в предположении отсутствия маскирующего слоя на поверхности, и толщина слоя на поверхности, и толщина слоя , содержащего  атомов:

(4)

Окончательный профиль распределения состоит из профиля  в области 1 (от поверхности мишени до глубины d) и профиля , рассчитываемого формулам (1б) или (2б), для толстого или тонкого слоев, соответственно, начинающегося с глубины .

В теории, предложенной Бирсаком

Если теперь рассмотреть функцию распределения W полярного угла или направляющего косинуса , то оказывается, что первоначально эта дельта-функция при  или , а затем при замедлении иона распределение вероятностей уширяется диффузным способом до тех пор, пока ион, наконец, полностью не «забудет» своё первоначальное направление и в конце траектории все направления не станут равновероятными. Эти соображения приводят к диффузному уравнению:

(5)

Для вычисления длины проективного пробега нет необходимости явно проходить функцию W, а достаточно вычислить среднее значение направляющего косинуса  непосредственно из уравнения (5), которое оказывается равным .

Связь между τ и энергетическими потерями находится с помощью соотношения Эйнштейна и имеет вид:

(6)

где М1 и М2 – масса иона и мишени, Е – энергия налетающей частицы,  – тормозная способность,  – эффективное торможение.

Это приводит к следующим уравнениям для пробега R и проектного пробега Rp:

(7)

(8)

Каждый прямолинейный элемент траектории иона проецируется на ось x умножением его длины на направляющий косинус. Длину проективного пробега можно вычислить нахождением τ из (6) и последующей подстановкой в (7). Однако алгоритм, разработанный Бирсаком, дает возможность вычислить и боковой пробег :

(9)

(10)

(11)

(12)

Уравнения (9)-(12) легко программируются для быстрых итерационных вычислений и , что позволяет проводить машинные вычисления. Для замедляющей способности Se принимается выражение теории Линдхарда-Шарфа-Шиотта

(13)

Для Sn  можно использовать аналитическое приближение, например:

(14)

где

Метод Давидона-Флетчера-Пауэлла (ДФП) основан на использовании соотношений , где длина шага определяется одномерным поиском в направлении .

Однако в данном случае не требуется на каждом шаге вычислять обратный гессиан , так как направление поиска на шаге i является направлением , где Hi – положительно определенная симметричная система, которая обновляется на каждом шаге, как это будет описано ниже. В пределе матрица Н становится равной обратному гессиану.

Начнем поиск из начальной точки x0, взяв в качестве начальной матрицу Н0 (обычно единичную матрицу, хотя в этом случае может подойти любая симметричная положительно определенная матрица). Итерационная процедура может быть представлена следующим образом (вместо g(xi) удобнее gi):

1. На шаге i имеются точка xi и положительно определенная симметричная матрица Hi.

2. В качестве направления поиска взять направление

3. Чтобы найти функцию минимизирующую функцию , произвести одновременный поиск вдоль прямой .

4. Положить

5. Положить 

6. Найти  и . Завершить процедуру, если величины  или  достаточно малы. В противном случае продолжить.

Из соотношения , следует что .

7. Положить

8. Обновить следующую матрицу Н следующим образом:

где

9. Увеличить i на единицу и вернуться на шаг 2.

Метод ДФП использует как идеи Ньютона-Рафсона, так и свойство сопряженных направлений, и при применении для минимизации квадратичной функции n переменных он сходится не более чем за n итераций. Это весьма мощная оптимизационная процедура, очень эффективная при оптимизации большинства функций независимо от того, квадратичны они или нет

Для проведения моделирования и оптимизации, на основе представленных выше математической модели ионной имплантации, диффузионной теории Бирсака и метода Давидона-Флетчера-Пауэлла была написана программа, позволяющая автоматически проводить расчеты. Проверка работоспособности, полученной программы проводилась с помощью контрольного примера, позволяющего получить заданный профиль с приращением во всех направлениях, имея следующие параметры:

· энергия иона – 87 кэВ;

· доза легирования – 50000000 1/мкм2.

Далее задавая различные ошибки начальных параметров было рассчитано за сколько итераций и насколько точно с помощью метода Давидона-Флетчера-Пауэлла будут получены правильные (оптимальные) значения параметров, соответствующие заданному профилю. Результаты работы программы представлены в Табл.1.

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы. Все точки которые были заданы в качестве начальных, показали хорошие результаты работы программы. Средняя погрешность по энергии составила 0,033%. Средняя погрешность у дозы легирования 1,012%. В процессе проверки не были замечены никакие закономерности в увеличение или уменьшении погрешностей, т.к. погрешность в дозе легирования почти в 1,5% была замечена сразу же в первой точке, но потом на протяжении 10 точек погрешность была меньше 1%, а иногда меньше 0,1%. Потом резкий скачок до 3,6% и опять в течении 5 точек очень низкая погрешность. В измерении №15 (ошибка в задании параметров составляла 50%) программа нашла точки, наиболее точно соответствующие необходимому значению. При задании ошибки в 100% программа дала погрешность по дозе почти 9%, поэтому дальнейшее увеличение ошибки и проверка программы не проводилась.

Рисунок 2 - Блок-схема алгоритма оптимизации методом Давидона-Флетчера-Пауэлла [18]

DOI:10.60797/itech.2024.4.3.2

Исходя из представленных выше данных можно сделать вывод о возможности использовании метода Давидона-Флетчера-Пауэлла для поиска оптимальных параметров ионного легирования. Разработанная Программа показала свою работоспособность, а предложенный метод оптимизации свою адекватность и пригодность для решения поставленной задачи. Однако при проведении расчетов следует учесть, что наименьшая погрешность получается при задании параметров с ошибкой менее 100%. Данный факт указывает на необходимость проведения начальной подготовки перед проведением моделирования и расчетов с цель получения наилучшего результата.